24/7

online

+38 095 812 2046
+38 068 356 3002

+38 095 812 2046 | Viber | WhatsApp

+38 068 356 3002 | Telegram | t.me/dystlab

Статті про розрахунки, дизайн, конструювання

Проверка прочности колонны круглого сечения по бетонной полосе

Неактивна зіркаНеактивна зіркаНеактивна зіркаНеактивна зіркаНеактивна зірка
 

Казалось бы, эта задача уже выполнялась многими инженерами, была успешно решена и реализована в проектах различных зданий и сооружений. Однако, осенью 2018 г. трудности возникли на одном из реконструируемых объектов.

Проблемы были связаны с расхождением результатов проверок на стадии П: у одних проектировщиков прочность колонн была обеспечена, у других — нет. При этом, оба расчета выполнялись в расчетных комплексах на основе МКЭ, без пошагового ручного анализа.

В этой статье я предлагаю пройтись по основам ручного расчета железобетонных колонн с поперечным сечением, отличным от прямоугольного. Надеюсь, что данный материал прольет свет на некоторые положения норм проектирования ЖБК и убережет расчетчиков от грубых ошибок.

Расчет колонны круглого сечения

Нормы проектирования СНиП (и их более поздние аналоги типа российских СП) содержат вполне конкретные рекомендации по расчету железобетонных конструкций. В частности, СП 63.13330.2012 [1] предписывает выполнять проверку прочности ЖБК по бетонной полосе следующим образом:

\(Q \le {\varphi _{b1}} \cdot {R_b} \cdot b \cdot {h_0}\), (1)

где

  • \(Q\) — поперечная сила, действующая в рассматриваемом сечении, кН;
  • коэффициент \({\varphi _{b1}} = 0,3\);
  • \({R_b}\) — расчетное сопротивление бетона сжатию, кН/см2;
  • \(b,\;{h_0}\) — ширина и рабочая высота сечения, соответственно (см).

О каком сечении конструкции идет речь?

По сути, формула (1) справедлива только для прямоугольного сечения, потому что произведение \(b \cdot {h_0}\) отвечает некой условной площади сжатия железобетонного элемента в момент наступления первого предельного состояния (собственно, образуется сжатая бетонная полоса). Но как быть, если сечение имеет другую (например, круглую) форму?

Рассмотрим конструктив колонны реального проекта (торгово-развлекательный центр, стадия проектирования П). Колонна входит в каркас из монолитного железобетона (бетон класса B30), имеет круглое поперечное сечение диаметром 600 мм и армирована 12-ю стержнями диаметром 32 мм.

Схема колонн | Dystlab Store

Рисунок 1. Фрагмент конструктивной схемы здания из монолитного железобетона с колоннами круглого сечения

На колонну воздействуют различные нагрузки, которые в итоговой проверке представлены максимальными усилиями \({F_x}\), \({F_y}\), \({F_z}\) и максимальными изгибающими моментами \({M_y}\), \({M_z}\) (рис. 2, a).

Основные вопросы на данном этапе:

  • как найти сжатую зону бетона?
  • какие стержни будут сжаты?
  • какие стержни будут растянуты?

Определяем высоту сжатой зоны бетона

Если бы речь шла о прямоугольном сечении, то площадь сжатого участка определялась бы традиционно, как произведение ширины колонны на высоту сжатой зоны. В нашем же случае, сжатая зона бетона будет ограничена сегментом круга, а равнодействующие сил в сжатой и растянутой арматуре должны определяться на основании их радиального расположения (рис. 2, b):

Расчетная схема колонны | Dystlab Store

Рисунок 2. Схема нагрузок (a) и схема усилий в сечении железобетонной колонны (b)

Следуя теории линейной работы железобетона, высота сжатой зоны может быть определена из условия статического равновесия усилий в сечении ЖБК:

\(\sum F = 0:\) \({F_s} - {F'_s} - {F_b} = 0.\) (2)

Каждое слагаемое в формуле (2) представляет собой равнодействующую усилий:

  • в растянутой арматуре: \({F_s} = {R_s} \cdot {A_s}\);
  • в сжатой арматуре: \({{F'}_s} = {R_{sc}} \cdot {{A'}_s}\);
  • в сжатом бетоне: \({F_b} = {R_b} \cdot {A_b}\).

Растянутый бетон в расчетах на прочность по СНиП — не учитывается. В рассматриваемом примере бетон класса B30 используется в сочетании с арматурой класса А500, поэтому согласно [1] имеем следующие расчетные сопротивления:

  • расчетное сопротивление бетона B30 сжатию: \({R_b} = 17,0\) МПа;
  • расчетное сопротивление арматуры А500 растяжению и сжатию: \({R_s} = {R_{sc}} = 435,0\) МПа.

Сжатая зона сечения имеет закругленную часть и, по сути, представляет собой сегмент круга. Нам предстоит найти центральный угол этого сегмента \(\alpha \):

Зона сжатия бетона | Dystlab Store

Рисунок 3. К определению сжатой зоны бетона в колонне круглого сечения

Площадь сегмента определяется формулой [2]:

\({A_b} = \) \(\frac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right).\) (3)

Подставляя (3) в (2), имеем формулу:

\({R_s}{A_s} - {R_{sc}}{A'_s} - \) \({R_b}\frac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) = 0.\) (4)

Опять-таки, в случае прямоугольного сечения (в балках или плитах) для нахождения высоты сжатой зоны бетона достаточно задаться минимально необходимым количеством арматуры, исходя из конструктивных соображений (например, через коэффициент армирования \({\mu _s}\) [1]). Это существенно упрощает расчеты.

При распределении арматуры по окружности этого не получится, так как количество арматуры (и сжатой, и растянутой) является функцией угла \(\alpha \). Чтобы решить эту проблему, для начала определим, сколько вообще стержней может попасть в сжатую зону бетона:

\({n_{sc}} = \frac{\alpha }{\varphi },\quad \) (5)

где

  • \(\varphi = \frac{{360^\circ }}{n}\);
  • \(n\) — общее количество стержней в сечении.

В нашем случае \(n = 12\) и \(\varphi = 30^\circ \). Формула (5) не требует непосредственного решения, она просто выражает зависимость количества стержней арматуры от центрального угла сегмента. Важно, что \({n_{sc}}\) должно быть целым числом (количество не может быть дробным), а точнее — округленным до ближайшего наименьшего целого.

Тогда количество стержней арматуры в растянутой зоне определится как остаток от общего числа:

\({n_s} = n - {n_{sc}}.\quad \) (6)

Соответственно, площади сжатой и растянутой арматуры:

\({A'_s} = {n_{sc}}{A_1};\) \({A_s} = {n_s}{A_1},\) (7)

где \({A_1} = \frac{{\pi {d^2}}}{4}\) — площадь поперечного сечения одного стержня.

Таким образом, уравнение (4) принимает вид:

\({R_s}{n_s}{A_1} - {R_{sc}}{n_{sc}}{A_1} - \) \({R_b}\frac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) = 0,\) (8)

или, в более развернутой форме:

\({R_s}\left( {n - \frac{\alpha }{\varphi }} \right){A_1} - \) \({R_{sc}}\frac{\alpha }{\varphi }{A_1} - \) \({R_b}\frac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right) = 0.\) (9)

Колонна круглого сечения, арматура | Dystlab Store

Пример радиального армирования (источник: civilengineeringdiscoveries)

Как решить уравнение?

Уравнение (9) — вполне решаемо, так как в него входит лишь одна неизвестная (угол сегмента сжатой зоны бетона \(\alpha \)). В условиях реального проектирования я не рекомендую решать данное уравнение вручную, так как в него входит тригонометрическая функция \({\sin \alpha }\), существенно затрудняющая анализ.

В данном случае можно обратиться к пакету математического анализа, например Mathcad. Если приравнять левую часть уравнения (9) какой-то функции \(y\left( \alpha \right)\), то для нахождения угла можно построить график этой функции и отследить точки, в которых эта функция равна нулю:

Решение в Mathcad | Dystlab Store

Рисунок 4. Отыскание угла сегмента графически

Более точный способ — задействовать средства поиска корней уравнения, встроенные в среду Mathcad (функция root):

Система уравнений в Маткад | Dystlab Store

Рисунок 5. Точное определение искомого угла

В данном случае, угол сегмента, ограничивающий сжатую зону бетона, составляет \(140,9^\circ \). В сжатую зону при этом попадают 4, а в растянутую — 8 стержней арматуры.

Вы можете скачать файл с этим расчетом (версия Mathcad 15).

Следует отметить, что Mathcad не всегда находит решение (9). Это связано с особенностями численного анализа и если подобные трудности возникают, я рекомендую "поиграться" исходными данными (изменить общее количество стержней, прочностные характеристики конструкции и т. п.).

Проверяем прочность колонны по бетонной полосе

В исходной сниповской проверке (1) рабочая высота сечения \({h_0}\) представляет собой расстояние от центра тяжести рабочей арматуры до наиболее сжатой грани бетона (рис. 6, a). Если сечение элемента — прямоугольное, то площадь равна \(b \cdot {h_0}\) (рис. 6, b).

Определение площади сжатой зоны бетона | Dystlab Store

Рисунок 6. К определению площади сжатой полосы

Для круглого сечения нам потребуются аналогичные зависимости.

Находим центр тяжести растянутой арматуры

Центр тяжести рабочей арматуры можно найти через координаты точки, расположенной на окружности. При этом может быть два случая, отличающиеся незначительным поворотом стержней по окружности:

  • количество стержней арматуры — нечетное (рис. 7, b);
  • количество стержней арматуры — четное (рис. 7, c).

Определение центра тяжести | Dystlab Store

Рисунок 7. К определению центра тяжести рабочей арматуры

Координаты точки, расположенной на окружности радиусом \(r\) и смещенной по ней на угол \(\alpha \) (рис. 7, a), определяются следующими зависимостями:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = r \cdot \cos \alpha ;}\\{z = r \cdot \sin \alpha .}\end{array}} \right.\quad \) (10)

Используя эти зависимости, можно определить координаты любого арматурного стержня в железобетонном элементе с круговым армированием. Так, для сечения с 8 стержнями в растянутой зоне, положение центра тяжести рабочей арматуры по вертикали (рис. 7, c) определяется формулой:

\({z_c} = \frac{{\sum {{A_i}{z_i}} }}{{{A_s}}} = \) \(\frac{{2{A_1}{z_1} + 2{A_1}{z_2}}}{{9{A_1}}} = \) \(\frac{{2{z_1} + 2{z_2}}}{9}.\) (11)

Ряды стержней имеют координаты:

\({z_1} = r\sin {75^^\circ };\) \({z_2} = r\sin {45^^\circ }.\) (12)

Подставляя (12) в (11), получаем координату центра тяжести:

\({z_c} = 11,2\) см. (13)

Площадь сегмента круга находим по формуле (3):

\({A_{b0}} = \frac{{{r^2}}}{2}\left( {\alpha - \sin \alpha } \right);\) \(\alpha = 2\pi - 2\arccos \frac{{{z_c}}}{r}.\) (14)

Площадь поперечного сечения | Dystlab Store

Рисунок 8. К определению площади сечения, попадающую в сжатую полосу

В данном примере \(\alpha = 223,7^\circ \), \({A_{bo}} = {\rm{2067,2}}\) см2. Окончательно, проверка прочности колонны круглого сечения по бетонной полосе может выглядеть следующим образом:

\(Q \le {\varphi _{b1}} \cdot {R_b} \cdot {A_{bo}}.\quad \) (15)

Учитываем пространственную работу колонны

Расчет железобетонного элемента по бетонной полосе между наклонными сечениями относится к проверкам изгибаемых элементов, потому что речь идет о поперечных силах. Изгибу чаще всего подвержены конструкции, которые непосредственно воспринимают полезную нагрузку — балки, плиты. Колонны же работают преимущественно на центральное или внецентренное сжатие, поэтому появление наряду с продольными силами в их сечениях изгибающих моментов и поперечных сил свидетельствует о пространственной работе (в общем случае, вдоль и поперек сооружения).

В зависимости от направления, продольные силы связаны с растягивающими или сжимающими напряжениями. Согласно [1], в расчете по полосе между наклонными сечениями их влияние следует учитывать коэффициентом \({\varphi _n}\), на который следует умножить несущую способность бетонной полосы:

\(Q \le \left( {{\varphi _{b1}}{R_b}{A_{b0}}} \right){\varphi _n}.\quad \) (16)

Коэффициент \({\varphi _n}\) определяется эмпирически и зависит, главным образом, от величины сжимающих \({\sigma _c}\) или растягивающих напряжений в бетоне, определяемых как средние напряжения в сечении колонны:

\({\sigma _c} = \frac{N}{{{A_b} + \alpha {A_s}}},\quad \) (17)

где

  • \(N\) — продольная сила в сечении колонны, кН;
  • \({{A_b}}\), \({{A_s}}\) — площади всего бетонного сечения и всей продольной арматуры, соответственно, см2;
  • \(\alpha = \frac{{{E_s}}}{{{E_b}}}\) — отношение модуля упругости арматуры к модулю упругости бетона, МПа/МПа.

Нормы [1] допускают не учитывать арматуру в расчете, если коэффициент армирования не превышает 3%:

\({\mu _s} = \frac{{{A_s}}}{{{A_b}}} \le 0,03\) \( \Rightarrow \) \({\sigma _c} = \frac{N}{{{A_b}}}.\) (18)

Если колонна работает на сжатие (самый обычный случай), то коэффициент \({\varphi _n}\) определяется из следующих условий:

\(\left. 1 \right){\sigma _c} = \left( {0 \ldots 0,25} \right){R_b}\) \( \Rightarrow \) \({{\varphi _n} = 1 + \frac{{{\sigma _c}}}{{{R_b}}};}\)

\(\left. 2 \right){\sigma _c} = \left( {0,25 \ldots 0,75} \right){R_b}\) \( \Rightarrow \) \({{\varphi _n} = 1,25;}\)

\(\left. 3 \right){\sigma _c} = \left( {0,75 \ldots 1} \right){R_b}\) \( \Rightarrow \) \({{\varphi _n} = 5\left( {1 - \frac{{{\sigma _c}}}{{{R_b}}}} \right).}\) (19)

Для справки, приведу также вариант с растягивающими напряжениями (а вдруг?):

\({\sigma _t} = \left( {0 \ldots 2} \right){R_{bt}}\) \( \Rightarrow \) \({\varphi _n} = 1 - \frac{{{\sigma _t}}}{{2{R_{bt}}}},\) (20)

где \({{R_{bt}}}\) — расчетное сопротивление бетона растяжению.

В формулах (19), (20) напряжения \({\sigma _c}\), \({{\sigma _t}}\) следует принимать положительными, в МПа.

В рассматриваемом примере, колонна ТРЦ работает под сжимающими нагрузками \(N = 688,0\) тс или \(N = 6880,0\) кН. Определяем суммарную площадь арматуры в сечении:

\({A_s} + {A'_s} = \) \(12\frac{{\pi {d^2}}}{4} = {\rm{96}},{\rm{5}}\) см2. (21)

Общая площадь бетонного сечения колонны:

\({A_b} = \pi {r^2} = \) \(3,14 \cdot 30,{0^2} = {\rm{2826}},{\rm{0}}\) см2. (22)

Коэффициент армирования:

\({\mu _s} = \frac{{{A_s} + {{A'}_s}}}{{{A_b}}}\) \( = {\rm{0}},{\rm{034}}.\) (23)

Доля арматуры в сечении колонны превышает 3%, поэтому пренебрегать ее влиянием не допускается. Отношение модулей упругости:

\(\alpha = \frac{{{E_s}}}{{{E_b}}} = \) \(\frac{{2 \times {{10}^5}}}{{26 \times {{10}^3}}} = {\rm{7}},{\rm{7}}\) МПа/МПа. (24)

Определяем сжимающее напряжение:

\({\sigma _c} = \frac{N}{{{A_b} + \alpha {A_s}}} = \) \(\frac{{6880,0}}{{{\rm{2826}},{\rm{0}} + 7,7 \cdot {\rm{96}},{\rm{5}}}} = {\rm{1}},{\rm{93}}\) кН/см2. (25)

Полученное сжимающее напряжение \({\sigma _c} = 19,3\) МПа превышает расчетное сопротивление бетона сжатию \({R_b} = 17,0\) МПа, поэтому колонну следует перепроектировать с увеличением несущей способности сечения (повысить класс бетона и/или арматуры, увеличить размеры поперечного сечения, добавить арматурных стержней и т. п.).

Уточнение по поводу приведения площадей

Вы наверняка заметили, что в формуле (17) при определении напряжения площадь бетона суммируется с площадью арматуры (с учетом коэффициента приведения). Это не совсем корректно, так как, строго говоря, бетон "под арматурой" отсутствует (арматура вытесняет его из сечения). Поэтому более точная формула для определения напряжения имеет вид:

\({\sigma _c} = \frac{N}{{{A_b} + \left( {\alpha - 1} \right){A_s}}}.\) (26)

Таким образом, мы вычитаем из площади бетона площадь арматурных стержней (в знаменателе).

Выводы

Как видите, иногда инженеру-расчетчику всё же приходится отходить от компьютерного моделирования и возвращаться к ручному расчету, чтобы проверить свои проектные решения. Не стоит полагаться также исключительно на нормы проектирования — в них рассмотрены лишь наиболее часто встречающиеся ситуации, но далеко не все, с которыми Вы можете столкнуться на практике. Рекомендую периодически пересматривать свои проектные решения, проверять расчеты более простыми или сложными моделями, сопоставлять результаты с решением в САПР, пользоваться поддержкой коллег.

Что же касается методики, приведенной в данной статье, то она не претендует на исчерпывающее решение. В частности, я считаю открытым вопрос определения площади сжатой бетонной полосы (в статье он рассмотрен последним). Если у Вас есть соображения по этому поводу или информация о других моделях и схемах — напишите в комментариях.

Желаю успехов! Будьте профессионалами)

Источники информации

  1. СП 63.13330.2012 "Бетонные и железобетонные конструкции. Основные положения" / НИИЖБ им. А. А. Гроздева и др. Актуализированная редакция СНиП 52-01-2003. - М.: Минрегион РФ, 2012. - 156 с.
  2. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. - М.: Наука, 1986. - 544 с.
Dystlab Store - магазин для инженеров

Онлайн-магазин для инженеров Dystlab Store. Купить готовый проект, скачать чертеж, шаблон расчета. Профессиональный технический контент для инженеров. Заказать разработку отчета, статьи, научно-технической документации.

Dystlab™ — торговая марка, зарегистрированная в Государственном реестре свидетельств Украины на знаки для товаров и услуг 26.02.2018, знак для товаров и услуг № 238304. Владелец: физическое лицо-предприниматель Артемов В. Е., ЕГРПОУ/ИНН: 3003314690

Viber / WhatsApp / Phone #1:
+38 095 812 2046

Telegram / Phone #2:
+38 068 356 3002

innot needed textfoanother not needed text@dystlabdummy text.store

Предложить товар в магазин

© Copyright 2019 Dystlab™. Все права защищены

Search